Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y = 1 c 1 + x

Passo 1

Vamos pra mais uma

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   y = 1 c 1 + x , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y = 1 c 1 + x ( I )

Usando a regra do quociente:

d y d x = 0 . c 1 + x - 1 . ( 1 ) ( c 1 + x ) ²

d y d x = - 1 ( c 1 + x ) ²       ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

y = 1 c 1 + x

y . c 1 + x = 1

y . c 1 + y x = 1

y . c 1 = 1 - x y

c 1 = 1 - x y y

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = - 1 1 - x y y + x 2

d y d x = - 1 1 - x y y + x y y 2

d y d x = - 1 1 y 2

Então, a equação diferencial da família dada é

d y d x = - y ²

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = - y ²

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = 1 y 2

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = 1 y 2   ( I I I )

Multiplicando em cruz:

y ²   d y = d x

Integrando dos dois lados:

y 3 3 = x + c 2

Multiplicando tudo por 3, temos que as trajetórias ortogonais são descritas por

y 3 = 3 x + c 2

Resposta

y 3 = 3 x + c 2

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