Enunciado

Encontre as curvas das trajetórias ortogonais de x + y = c 1 . e y que passam por 0 ,   5 .

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos matar esse probleminha?

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   x + y = c 1 . e y e que passam por 0 ,   5 .

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos a forma genérica das trajetórias ortogonais

Pra encontrarmos as curvas que passam por 0 ,   5 , vamos substituir x = 0 e y = 5 na equação encontrada para aí encontrarmos o valor da constante c , vamos lá?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

x + y = c 1 . e y     ( I )

Usando a regra da cadeia (pra derivarmos o y )

1 + d y d x = c 1 . e y . d y d x

Vamos isolar o d y d x :

d y d x - c 1 . e y . d y d x = - 1

d y d x . 1 - c 1 . e y = - 1

d y d x = - 1 1 - c 1 . e y     ( I I )

Humm vamos isolar o c 1 lá na equação ( I ) , pra aí podermos substituir na equação ( I I )

x + y = c 1 . e y

c 1 = x + y e y

Substituindo em ( I I ) :

d y d x = - 1 1 - x + y e y . e y

d y d x = - 1 1 - x - y

Então, a equação diferencial da família dada é

d y d x = 1 x + y - 1

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = 1 x + y - 1

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - ( x + y - 1 )

d y d x = - x - y + 1

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = - x - y + 1

Isso é uma EDO linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha:

d y d x + y = 1 - x   ( I I I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I V )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I I I ) , temos A x = 1 e B x = 1 - x então:

I x = e ∫ 1   d x

I x = e x

Então esse é o nosso fator de integração

Passo 5

Substituindo o que temos na expressão ( I V ) :

y x = 1 e x ∫ e x . ( 1 - x )   d x + c

y x = 1 e x ∫ e x - e x . x   d x + c

y x = 1 e x - e x . x + 2 e x + c

Multiplicando:

y x = - x + 2 + c e x

Belezinha, essa é a equação que descreve as trajetórias ortogonais. Mas precisamos saber qual é a curva que passa por ( 0,5 )

Para isso, vamos substituir x por 0 e y por 5 , pra aí encontrarmos qual a constante c que nos dá as curvas que queremos, vamos lá que ta acabando

Passo 6

As trajetórias ortogonais são dadas por

y x = - x + 2 + c e x

Substituindo x = 0 e y = 5

5 = 0 + 2 + c e 0

5 = 2 + c

c = 5 - 2

c = 3

Então, a constante c deve valer 3 para que a curva passe por ( 0,5 ) :

y x = - x + 2 + 3 e x

Resposta

y x = - x + 2 + 3 e x

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