Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

x 1 3 + y 1 3 = c 1

Passo 1

E vamos de trajetórias ortogonais hehehe

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   x 1 3 + y 1 3 = c 1 , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

x 1 3 + y 1 3 = c 1     ( I )

Usando a regra da cadeia (pra derivarmos o y )

1 3 . x 1 3 - 1 + 1 3 . y 1 3 - 1 d y d x = 0

x -   2 3 3 + y -   2 3 3 d y d x = 0

Vamos isolar o d y d x :

d y d x = - x -   2 3 3 y -   2 3 3

d y d x = - x -   2 3 y -   2 3

Lembrando que 1 a - b = a b , a equação diferencial da família dada é

d y d x = - y 2 3 x 2 3

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = - y 2 3 x 2 3

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = x 2 3 y 2 3

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = x 2 3 y 2 3

Multiplicando em cruz:

y 2 3   d y = x 2 3   d x

Integrando dos dois lados:

3 y 5 3 5 = 3 x 5 3 5 + c 2

Multiplicando tudo por 5 3 , temos que as trajetórias ortogonais são descritas por

y 5 3 = x 5 3 + c 2

Resposta

y 5 3 = x 5 3 + c 2

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