Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y = c 1 . s e n ( x )

Passo 1

Falaa, vamos lá resolver mais uma?

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   y = c 1 . s e n ( x ) , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y = c 1 . s e n ( x ) ( I )

d y d x = c 1 . cos ⁡ x   ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

y = c 1 . s e n x

c 1 = y s e n ( x )

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = y s e n ( x ) . cos ⁡ x

Como cos ⁡ x s e n x = c o t g ( x ) , a equação diferencial da família dada é

d y d x = y . c o t g ( x )

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = y . c o t g ( x )

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - 1 y . c o t g ( x )

Mas c o t g x = 1 t g ⁡ ( x ) , então saca só:

d y d x = - 1 y . 1 t g x

d y d x = - t g x y

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = - t g x y

Multiplicando em cruz:

y   d y = - t g ( x )   d x

Integrando dos dois lados:

y 2 2 = ln ⁡ cos ⁡ x + c 2

Multiplicando tudo por 2, temos que as trajetórias ortogonais são descritas por

y 2 = 2 l n ⁡ | c o s ⁡ ( x ) | + c 2

Resposta

y 2 = 2 l n ⁡ | c o s ⁡ ( x ) | + c 2

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