Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

s e n h y = c 1 x

Passo 1

Falaa, vamos lá resolver mais uma?

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   s e n h y = c 1 x , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

s e n h y = c 1 x   ( I )

Lembrando que a derivada do seno hiperbólico é o cosseno hiperbólico ( c o s h ) e usando a regra da cadeia:

cosh ⁡ y d y d x = c 1

d y d x = c 1 c o s h ⁡ ( y )     ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

s e n h y = c 1 x

c 1 = s e n h y x

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = s e n h y x c o s h ⁡ ( y )

d y d x = s e n h y x . 1 c o s h ⁡ ( y )

Como s e n h y c o s h ⁡ ( y ) = t a n h ⁡ ( y ) , a equação diferencial da família dada é

d y d x = t a n h ⁡ ( y ) x

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = t a n h ⁡ ( y ) x

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - x t a n h ⁡ ( y )

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = - x t a n h ⁡ ( y )

Multiplicando em cruz:

tanh ⁡ y d y = - x   d x

Integrando dos dois lados:

ln ⁡ | c o s h ⁡ ( y ) | = - x 2 2 + c 2

Multiplicando tudo por 2, temos que as trajetórias ortogonais são descritas por

2 ln ⁡ | c o s h ⁡ ( y ) | = - x ² + c 2

Resposta

2 ln ⁡ | c o s h ⁡ ( y ) | = - x ² + c 2

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