Enunciado

A equação diferencial:

d P d t = k . cos ⁡ t P

Em que k é uma constante positiva, é frequentemente usada como um modelo de uma população sujeita à flutuações sazonais. Encontre P t e faça um gráfico da solução. Suponha P 0 = P 0 .

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa equação diferencial é bem tranquilo, pois basta utilizarmos o método de separação de variáveis, que é o mais de boa que tem! Nossa equação é:

d P d t = k . cos ⁡ t P

Separando as variáveis:

d P P = k . cos ⁡ t d t

Integrando ambos os lados, teremos:

∫ d P P = k ∫ cos ⁡ t d t

E teremos como resultado:

ln ⁡ P = k . s e n   t + c

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Passo 2

Para facilitar nossa compreensão vamos simplificar nosso resultado:

P = c e k . s e n   t

Como P 0 = P 0 , teremos:

P 0 = c e 0

∴ c = P 0

Então nossa expressão será:

P t = P 0 e k . s e n   t

E o gráfico disso é o seguinte:

Resposta

P t = P 0 e k . s e n   t

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