Enunciado

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x 2 y ' ' - 2 y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 2 y ' ' - 2 y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 2 m m - 1 x m - 2 - 2 x m = 0

m 2 x m - m x m - 2 x m = 0

x m m 2 - m - 2 = 0

Daqui a gente tem que m 2 - m - 2 = 0 . Vamos jogar uma fórmula de Bháskara aqui e resolver essa equaçãozinha!

Passo 3

Resolvendo...

m 2 - m - 2 = 0

Δ = - 1 2 - 4 1 - 2 = 9

m 1 = 1 + 9 2 = 2

m 2 = 1 - 9 2 = - 1

Então temos duas possibilidades:

y = x - 1

y = x 2

E então pra solução geral a gente junta as duas:

y = c 1 x - 1 + c 2 x 2

E pronto! 😉

Resposta

y = c 1 x - 1 + c 2 x 2

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