Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

14. y ' ' + 4 y = 4 cos ⁡ x + 3 s e n   x - 8

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 4 y = 4 cos ⁡ x + 3 s e n   x - 8

m 2 + 4 = 0

Então encontramos que:

m 1 = a + b i = 0 + 2 i

m 2 = a - b i = 0 - 2 i

Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução complementar:

y c = e a x . c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x

y c = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = 4 cos ⁡ x + 3 s e n   x - 8

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato cos ⁡ β x , o seguinte operador anula nossa função:

D 2 + β 2 n

No qual n é o expoente de x e D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos β = 1 e n = 1 , logo o operador será:

D 2 + 1

Quando temos uma função no formato s e n   β x , o seguinte operador anula nossa função:

D 2 + β 2 n

No nosso caso temos β = 1 e n = 1 , logo o operador será:

D 2 + 1

E, por fim, quando temos uma função no formato k , o seguinte operador anula nossa função:

D

Então nosso operador será D D 2 + 1 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 4 y = 4 cos ⁡ x + 3 s e n   x - 8

D 2 y + 4 y = 4 cos ⁡ x + 3 s e n   x - 8

D 2 + 4 y = 4 cos ⁡ x + 3 s e n   x - 8

D D 2 + 1 D 2 + 4 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m m 2 + 1 m 2 + 4 y = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = 0

m 2 = a + b i = 0 + i

m 3 = a - b i = 0 - i

m 4 = 0 + b i = 0 + 2 i

m 5 = 0 - b i = 0 - 2 i

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 + c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x + c 4 cos ⁡ 2 x + c 5 s e n   2 x

Observe que o termo c 4 cos ⁡ 2 x + c 5 s e n   2 x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A + B . cos ⁡ x + C . s e n   x

Aqui vale ressaltar que A = c 1 , B = c 2 e C = c 3 beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = - B . s e n   x + C . cos ⁡ x

y p ' ' = - B . cos ⁡ x - C . s e n   x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' + 4 y = 4 cos ⁡ x + 3 s e n   x - 8

- B . cos ⁡ x - C . s e n   x + 4 A + B . cos ⁡ x + C . s e n   x = 4 cos ⁡ x + 3 s e n   x - 8

- B . cos ⁡ x - C . s e n   x + 4 A + 4 B . cos ⁡ x + 4 C . s e n   x = 4 cos ⁡ x + 3 s e n   x - 8

Como temos uma identidade isso nos dá que:

4 A = - 8 3 B = 4 3 C = 3

E encontramos que:

A = - 2

B = 4 3

C = 1

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = - 2 + 4 3 cos ⁡ x + s e n   x + c 4 cos ⁡ 2 x + c 5 s e n   2 x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = - 2 + 4 3 cos ⁡ x + s e n   x + c 4 cos ⁡ 2 x + c 5 s e n   2 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.21. y ' ' + 25 y = 20 s e n5 x
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.25. y ' ' ' + 8 y ' ' = - 6 x 2 + 9 x + 2
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.22. y ' ' + y = 4 . cos ⁡ x - s e nx
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.27. y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = e x - x + 16
Nos problemas 33-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.36. y ' ' + 5 y ' - 6 y = 10 e 2 x ,y 0 = 1 ,y ' 0 = 1