Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

y ' ' ' - y = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' ' - y = 0

Assim:

m 3 - 1 = 0

Vamos resolver essa equação

Isolando o m ³

m 3 = 1

Deixa eu te dar uma dica: quando temos x 3 = f ( a ) , as 3 soluções são: x 1 = f ( a ) 3 , x 2 = f a 3 . - 1 - 3 i 2 e x 3 = f a 3 . - 1 + 3 i 2

A primeira raíz nós já temos, que é m 1 = 0

Então, para m 3 = 1

Temos

m 1 = 1 3 = 1

m 2 = 1 . - 1 - 3 i 2

m 3 = 1 . - 1 + 3 i 2

Temos uma raíz real e duas raízes complexas, então nossa solução geral vai ficar assim:

y = c 1 . e 1 x + c 2 . e - 1 - 3 i 2 x + c 3 . e - 1 + 3 i 2 x

y = c 1 . e 1 x + c 2 . e - x 2 . e - 3 2 x . i + c 3 . e - x 2 . e 3 2 x . i

Reescrevendo a parte complexa usando a fórmula de Euler:

y = c 1 . e x + e - x 2 . c 2 . cos ⁡ 3 2 x + i . s e n 3 2 x + c 3 . cos ⁡ 3 2 x - i . s e n 3 2 x

E acabamosss

Resposta

y = c 1 . e x + e - x 2 . c 2 . cos ⁡ 3 2 x + i . s e n 3 2 x + c 3 . cos ⁡ 3 2 x - i . s e n 3 2 x

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