Enunciado

Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

y ' ' ' + 12 y ' ' + 36 y ' = 0 ,       y 0 = 0 ,     y ' 0 = 1 ,       y ' ' 0 = - 7

Passo 1

E aíí, vamos pra mais um probleminha?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

E aí depois disso vamos aplicar as condições iniciais que ele deu, pra aí descobrirmos os valores das constantes

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' ' + 12 y ' ' + 36 y ' = 0

Assim:

m ³ + 12 m 2 + 36 m = 0

Resolvendo a equação:

m . m 2 + 12 m + 36 = 0

Já sabemos que temos uma raíz em m = 0 , agora vamos encontrar as outras raízes resolvendo:

m 2 + 12 m + 36 = 0

∆ = 12 2 - 4.1 . 36 = 0

m = - 12 2 = - 6

Então, a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e 0 x + c 2 . e - 6 x + c 3 . x . e - 6 x

y = c 1 + c 2 . e - 6 x + c 3 . x . e - 6 x

Agora temos que aplicar as condições iniciais, beleza?

Passo 3

Fazendo y 0 = 0 :

y 0 = 0 = c 1 + c 2 . e - 6 . 0 + c 3 . 0 . e - 6 . 0

c 1 + c 2 = 0

Fazendo y ' 0 = 1 :

y ' 0 = 1 = - 6 c 2 + c 3

E agora y ' ' 0 = - 7 :

y ' ' 0 = - 7 = 36 c 2 - 12 c 3 = - 7

Então temos o sistema:

c 1 + c 2 = 0 - 6 c 2 + c 3 = 1 36 c 2 - 12 c 3 = - 7

De onde encontramos c 1 = 5 36 , c 2 = - 5 36 e c 3 = 1 6

Então:

y = 5 36 - 5 36 . e - 6 x + 1 6 . x . e - 6 x

Resposta

y = 5 36 - 5 36 . e - 6 x + 1 6 . x . e - 6 x

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