Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

1 + e x d y d x + e x y = 0

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, dividindo tudo por 1 + e x :

d y d x + e x 1 + e x   y = 0     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = e x 1 + e x e B x = 0 então:

I x = e ∫ e x 1 + e x   d x

I x = e l n ⁡ | 1 + e x |

I x = 1 + e x

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 1 + e x ∫ 0 . ( 1 + e x )   d x + c     ( I I I )

y x = 1 1 + e x c

y x = c 1 + e x

Sendo que não temos restrições em x :

- ∞ < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = c 1 + e x

- ∞ < x < ∞

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