Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

d y d x + y = e 3 x

Passo 1

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha:

d y d x + y = e 3 x     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = 1 e B x = e 3 x então:

I x = e ∫ 1   d x

I x = e x

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 e x ∫ e x . e 3 x   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente, temos

∫ e x . e 3 x   d x = ∫ e 4 x   d x

Então:

∫ e x . e 3 x   d x = e 4 x 4

Substituindo em ( I I I ) :

y x = 1 e x e 4 x 4 + c

y x = e 3 x 4 + c e x

Sendo que não temos restrição nenhuma em x :

- ∞ < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = e 3 x 4 + c e x

- ∞ < x < ∞

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