Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

x d y d x + 2 y = 3

Passo 1

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, vamos dividir tudo por x:

x d y d x + 2 y = 3

d y d x + 2 x y = 3 x     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = 2 x e B x = 3 x então:

I x = e ∫ 2 x   d x

I x = e 2 l n ⁡ | x |

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 e 2 l n ⁡ | x | ∫ e 2 ln ⁡ x . 3 x   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente, temos

∫ e 2 ln ⁡ x . 3 x   d x

Mas e ln ⁡ x = x , então:

∫ e 2 ln ⁡ x . 3 x   d x = ∫ x ² . 3 x   d x = ∫ 3 x   d x

Então:

∫ e 2 ln ⁡ x . 3 x   d x = 3 x 2 2

Substituindo em ( I I I ) :

y x = 1 x ² 3 x 2 2 + c

y x = 3 2 + c x 2

Sendo que x não pode ser 0 para não zerar o denominador

x ≠ 0

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = 3 2 + c x 2

x ≠ 0

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