Enunciado

Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

x + y 2 d x + 2 x y + x 2 - 1 d y = 0 ,     y 1 = 1

Passo 1

Nesses exercícios, vamos trabalhar com equações diferenciais exatas, mas antes de resolver, precisamos provar que cada uma delas é exata ok?

Vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Provando que a equação diferencial é exata

Vamos verificar se a equação x + y 2 d x + 2 x y + x 2 - 1 d y = 0 é exata

Ela já está escrita no formato M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, temos M x , y = x + y 2 e N x , y = 2 x y + x 2 - 1

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ x + y 2 ∂ y

Derivando M em relação a y (usando a regra do quociente):

∂ M ∂ y = 2 . ( x + y )

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ 2 x y + x 2 - 1 ∂ x

∂ N ∂ x = 2 y + 2 x = 2 . ( x + y )

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = 2 ( x + y )

Boaaa, provamos que a equação é exata, agora vamos lá resolver

Passo 4

Encontrando a solução genérica da equação diferencial exata

Temos

x + y 2 d x + 2 x y + x 2 - 1 d y = 0

Onde M x , y = x + y 2 e N x , y = 2 x y + x 2 - 1

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = x + y 2

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ x + y 2 d x + g y

f = ∫ x 2 + 2 x y + y 2   d x + g y

Resolvendo a integral:

f = x 3 3 + 2 y . x 2 2 + y 2 . x + g ( y )

f = x 3 3 + y . x ² + y 2 . x + g ( y )

Passo 5

Temos

f = x 3 3 + y . x 2 + y 2 . x + g y     ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = x 2 + 2 x y + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = 2 x y + x 2 - 1 :

∂ f ∂ y = x 2 + 2 x y + g ' ( y ) = 2 x y + x 2 - 1

Então:

g ' y = - 1

Integrando em relação a y :

g y = - y   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = x 3 3 + y . x 2 + y 2 . x - y

A solução genérica da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

x 3 3 + y . x 2 + y 2 . x - y = c

Masss, ainda falta aplicarmos o problema do valor inicial nessa solução genérica, vamos lá

Passo 6

Resolvendo o problema de valor inicial

A solução genérica da nossa equação diferencial é

x 3 3 + y . x 2 + y 2 . x - y = c

Onde c é uma constante

Mas temos que y 1 = 1 , então podemos descobrir o valor de c para encontrarmos uma solução única

Substituindo x = 1 e y = 1 :

1 3 3 + 1 . 1 2 + 1 2 . 1 - 1 = c

1 3 + 1 + 1 - 1 = c

c = 4 3

Então, a solução da nossa equação diferencial com o problema de valor inicial dado é:

x 3 3 + y . x 2 + y 2 . x - y = 4 3

Resposta

x 3 3 + y . x 2 + y 2 . x - y = 4 3

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