Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

1 - cos ⁡ x d y + 2 y . s e n x - t g x d x = 0

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, vamos dividir tudo por d x

1 - cos ⁡ x d y d x + 2 y . s e n x - t g x = 0

Agora dividindo tudo por 1 - c o s ⁡ ( x ) :

d y d x + 2 y . s e n x - t g x 1 - c o s ⁡ ( x ) = 0

d y d x + 2 s e n x 1 - c o s ⁡ ( x ) y = t g ( x ) 1 - c o s ⁡ ( x )       ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = 2 s e n x 1 - c o s ⁡ ( x ) e B x = t g ( x ) 1 - c o s ⁡ ( x ) então:

I x = e ∫ 2 s e n x 1 - c o s ⁡ ( x )   d x

I x = e 2 l n | 1 - c o s ⁡ ( x ) | = 1 - cos ⁡ x 2

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 1 - cos ⁡ x 2 ∫ 1 - cos ⁡ x 2 . t g ( x ) 1 - c o s ⁡ ( x )   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente:

∫ 1 - cos ⁡ x 2 . t g x 1 - cos ⁡ x   d x = ∫ ( 1 - cos ⁡ x ) . t g ( x )   d x

∫ 1 - cos ⁡ x 2 . t g x 1 - cos ⁡ x   d x = - l n ⁡ | c o s ⁡ ( x ) | + c o s ⁡ ( x )

Substituindo em ( I I I )

y x = 1 1 - cos ⁡ x 2 - l n ⁡ | c o s ⁡ ( x ) | + c o s ⁡ ( x ) + c

y = - ln ⁡ cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x 2 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x 2 + c 1 - cos ⁡ x 2

Com:

0 < x < π 2

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y = - ln ⁡ cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x 2 + cos ⁡ x 1 - cos ⁡ x 2 + c 1 - cos ⁡ x 2

0 < x < π 2

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