Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1 - Capítulo 2.6 - Ex. 9

Nos problemas 7-10, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

9. x y 1 + x y 2 . d y d x = 1 , no qual y 1 = 0 .

Passo 1

Então pessoal, esses exercícios sobre equação de Bernoulli possuem um método bem tranquilo de resolução, basta que tenhamos atenção com algumas coisinhas! Quando utilizamos o método? Sempre que tivermos uma equação diferencial do tipo:

d y d x + P . y = Q . y n

No qual n ≠ 0   e   n ≠ 1 , aplicaremos esse método. Em outras palavras, o que queremos fazer é transformar uma equação diferencial que não é linear, em uma equação diferencial LINEAR, conforme estudamos na seção passada.

O que vamos fazer é realizar uma substituição do tipo:

w = y 1 - n

Depois derivar e substituir na equação diferencial original e resolver para w , tudo bem? Show!

Ah! Vale ressaltar que depois que linearizarmos a equação diferencial, devemos utilizar a solução geral que já conhecemos, que é:

w = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais.

Por fora: po, tranquilão!

Por dentro:

Mas vamo que vamo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

x y 1 + x y 2 . d y d x = 1

Escrever no formato do passo 1 parece bem complicado para essa equação. Uma alternativa boa é inverter tudo, ou seja, encontrarmos d x d y ao invés de d y d x e fazer P y e Q y ao invés de P x e Q x . Manipulando nossa equação, teremos:

d x d y = x y 1 + x y 2

d x d y - y x = y ³ x ²

Ok, missão cumprida! Agora fazendo a substituição:

w = x 1 - n = x 1 - 2

w = x - 1 ⇒ x = w - 1

Derivando em relação a y , obteremos:

d x d y = - w - 2 . d w d y

Top, top!

Passo 3

Agora que já fizemos a substituição adequada e encontramos a derivada associada, vamos substituir os resultados na nossa equação diferencial original, que é:

d x d y - y x = y 3 x 2

- w - 2 . d w d y - y w - 1 = y 3 w - 2

Simplificando, teremos:

- d w d y - y w = y 3

d w d y + y w = - y 3

E então tiramos que:

P y = y

Q y = - y 3

Passo 4

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

w = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Como invertemos, teremos que calcular:

w = e - ∫ P d y . ∫ e ∫ P d y . Q d y + c

w = e - ∫ y d y . - ∫ e ∫ y d y y 3 d y + c

Para a integral do expoente, teremos:

∫ y d y = y 2 2

Substituindo:

w = e - y 2 2 . - ∫ e y 2 2 y 3 d y + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

∫ e y 2 2 y 3 d y = y 2 - 2 e y 2 2

Substituindo:

w = e - y 2 2 . - y 2 - 2 e y 2 2 + c

Simplificando:

w = 2 - y 2 + c e y 2 2

Beleza! Resolvemos as integrais e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 5

O resultado que encontramos está como w x e queremos o resultado como y x , certo? Lá no passo 2 a substituição que fizemos foi:

w = x - 1 ⇒ x = w - 1

Voltando para a variável x , teremos:

w = 2 - y 2 + c e y 2 2

x - 1 = 2 - y 2 + c e y 2 2

∴ x = 2 - y 2 + c e y 2 2 - 1

Note que aparece uma constante arbitrária que, a princípio, não conseguimos determinar o valor. No entanto, nessa questão o enunciado nos dá um ponto que permite que encontremos o valor de c . Aplicando o ponto dado que é y 1 = 0 , teremos:

1 = 2 - 0 + c e 0

- 1 = c 1

∴ c = - 1

Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:

x = 2 - y 2 - 1 e y 2 2 - 1

E está aí a resolução! 😉

Resposta

x = 2 - y 2 - 1 e y 2 2 - 1

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