Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

33. y d x + x + 2 x y 2 - 2 y d y = 0

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

y d x + x + 2 x y 2 - 2 y d y = 0

Escrever no formato do passo 1 parece bem complicado para essa equação. Uma alternativa boa é inverter tudo, ou seja, encontrarmos d x d y ao invés de d y d x e fazer P y e Q y ao invés de P x e Q x . Manipulando nossa equação, teremos:

y . d x d y + x + 2 x y 2 - 2 y = 0

Colocando x em evidência:

y . d x d y + x 1 + 2 y 2 - 2 y = 0

Dividindo tudo por y :

d x d y + 1 y + 2 y x = 2

E então tiramos que:

P y = 1 y + 2 y

Q y = 2

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Como invertemos, teremos que calcular:

x = e - ∫ P d y . ∫ e ∫ P d y . Q d y + c

x = e - ∫ 1 y + 2 y d y . ∫ e ∫ 1 y + 2 y d y . 2 d y + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 1 y + 2 y d y = ∫ 1 y d y + 2 ∫ y d y

Essas duas integrais são bem tranquilas de se resolver, tudo bem? O resultado da primeira será:

∫ 1 y d y = ln ⁡ y

Já o resultado da segunda será:

2 ∫ y d y = 2 y 2 2 = y ²

Substituindo:

x = e - ln ⁡ y + y 2 . 2 ∫ e ln ⁡ y + y 2 d y + c

Utilizando essa propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

x = e - ln ⁡ y e - y 2 . 2 ∫ e ln ⁡ y e y 2 d y + c

x = 1 y e - y 2 . 2 ∫ y e y 2 d y + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ y e y 2 d y

Para resolve-la devemos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = y 2

d u = 2 y d y ⇒ 1 2 d u = y d y

Substituindo, teremos:

1 2 ∫ e u d u = 1 2 e u

Voltando para a variável y :

∫ y e y 2 d y = 1 2 e y 2

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

x = 1 y e - y 2 . 2 ∫ y e y 2 d y + c

x = 1 y e - y 2 . 2 1 2 e y 2 + c

x = 1 y e - y 2 . e y 2 + c

∴ x = 1 y + 1 y e - y 2 c

E está aí nosso resultado!

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

x = 1 y + 1 y e - y 2 c

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial: y ' = x e x - y c o s s e c   y
Resolva a equação diferencial. y ' = e y x y
Resolva o problema de valor inicial. t d u d t = t 2 + 3 u ,   &n
Determine se a equação diferencial é linear. y + s e n   x = x 3
Determine se a equação diferencial é linear. x y + x = e x y '