Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1 - Capítulo 2.6 - Ex. 2

Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.

2. d y d x - y = e x y 2

Passo 1

Então pessoal, esses exercícios sobre equação de Bernoulli possuem um método bem tranquilo de resolução, basta que tenhamos atenção com algumas coisinhas! Quando utilizamos o método? Sempre que tivermos uma equação diferencial do tipo:

d y d x + P . y = Q . y n

No qual n ≠ 0   e   n ≠ 1 , aplicaremos esse método. Em outras palavras, o que queremos fazer é transformar uma equação diferencial que não é linear, em uma equação diferencial LINEAR, conforme estudamos na seção passada.

O que vamos fazer é realizar uma substituição do tipo:

w = y 1 - n

Depois derivar e substituir na equação diferencial original e resolver para w , tudo bem? Show!

Ah! Vale ressaltar que depois que linearizarmos a equação diferencial, devemos utilizar a solução geral que já conhecemos, que é:

w = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais.

Por fora: po, tranquilão!

Por dentro:

Mas vamo que vamo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

d y d x - y = e x y 2

Agora fazendo a substituição:

w = y 1 - n = y 1 - 2

w = y - 1 ⇒ y = w - 1

Derivando em relação a x , obteremos:

d y d x = - w - 2 . d w d x

Top, top!

Passo 3

Agora que já fizemos a substituição adequada e encontramos a derivada associada, vamos substituir os resultados na nossa equação diferencial original, que é:

d y d x - y = e x y 2

- w - 2 . d w d x - w - 1 = e x w - 2

Simplificando, teremos:

- d w d x - w = e x

d w d x + w = - e x

E então tiramos que:

P x = 1

Q x = - e x

Passo 4

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

w = e - ∫ 1 d x . ∫ e ∫ 1 d x . - e x d x + c

w = e - ∫ 1 d x . - ∫ e ∫ 1 d x . e x d x + c

Para a integral do expoente, teremos:

∫ d x = x

Substituindo:

w = e - x . - ∫ e x . e x d x + c

Simplificando:

w = e - x . - ∫ e 2 x d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

∫ e 2 x d x = 1 2 e 2 x

Substituindo:

w = e - x . - 1 2 e 2 x + c

∴ w = - 1 2 e x + c e x

Beleza! Resolvemos as integrais e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 5

O resultado que encontramos está como w x e queremos o resultado como y x , certo? Lá no passo 2 a substituição que fizemos foi:

w = y - 1 ⇒ y = w - 1

Voltando para a variável y , teremos:

w = - 1 2 e x + c e x

y - 1 = - 1 2 e x + c e x

∴ y = - 1 2 e x + c e x - 1

E esse é nosso resultado! 😉

Resposta

y = - 1 2 e x + c e x - 1

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