Enunciado

Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.

17. 2 y x + 1 d y = x d x

Passo 1

Então pessoal, de início vale ressaltar que é interessantíssimo ter uma boa base de integração para resolver os problemas de equações diferenciais, tudo bem? Sendo assim, caso você não se lembre muito bem das técnicas de integração, sugiro dar uma revisada antes de iniciar o curso de equações diferenciais, belê? Show!

O exercício quer que a gente resolva a equação diferencial dada utilizando o método de separação de variáveis. Basicamente o que precisamos fazer é deixar tudo que tem x de um lado da equação e tudo que tem y do outro lado da equação e depois integrar tudo. Pareceu complicado? Bora descomplicar então!

Passo 2

A equação diferencial que nos foi dada é essa aqui:

2 y x + 1 d y = x d x

Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:

2 y d y = x x + 1 d x

Show! Variáveis devidamente separadas. Simbora para o último passo!

Passo 3

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

2 ∫ y d y = ∫ x x + 1 d x

Para a integral da esquerda podemos utilizar a seguinte propriedade:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + c

Aplicando essa ideia, teremos:

2 ∫ y d y = 2 y 2 2 + c 1 = y 2 + c 1

Para a integral da direita devemos utilizar uma subsituiçãozinha simples, ok? Mas nada de pânico! A substituição que devemos utilizar é essa:

u = x + 1 ⇒ x = u - 1

d u = d x

Substituindo na integral, teremos:

∫ u - 1 u d u = ∫ 1 - 1 u d u = ∫ d u - ∫ 1 u d u

E ambos os resultados já são conhecidos, se liga:

∫ d u - ∫ 1 u d u = u - ln ⁡ u + c 2

Voltando para a variável x , teremos:

∫ x x + 1 d x = x + 1 - ln ⁡ x + 1 + c 2

Show!

Passo 4

Por fim, igualando os resultados:

y 2 + c 1 = x + 1 - ln ⁡ x + 1 + c 2

Juntando c 1 com c 2 e 1 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

y 2 = x - ln ⁡ x + 1 + c 3

∴ y = x - ln ⁡ x + 1 + c 3

E essa é a nossa função!

Resposta

y = x - ln ⁡ x + 1 + c 3

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