Enunciado

Crescimento de bactérias. Uma colônia de bactérias é cultivada sob condições ideais em laboratório, de modo que a população aumenta exponencialmente. Ao final de 3 horas existem 10.000 bactérias. Ao final de 5 horas, 40.000 . Quantas bactérias havia inicialmente?

Passo 1

Perceba que pela Lei de variação exponencial temos que

y = y 0 e k t

No entanto, como no enunciado afirma que ao final de 3 horas existem 10.000 bactérias e ao final de 5 horas, 40.000 . Então podemos concluir que o número de bactérias depende do tempo. Ou seja,

y ( t ) = y 0 e k t

Sabemos que para t = 3 ,   y ( 3 ) = 10.000 . Assim,

10.000 = y 0 e 3 k

Por outro lado, sabemos que para t = 5 ,   y ( 5 ) = 40.000 . Assim,

40.000 = y 0 e 5 k ⇒ ( 4 ) 10.000 = y 0 e 5 k

Isso quer dizer que

4 y 0 e 3 k = y 0 e 5 k ⇒ e 5 k e 3 k = 4 ⇒ e 2 k = 4

⇒ ln ⁡ e 2 k = ln ⁡ 4 ⇒ 2 k = ln ⁡ 4 = ln ⁡ 2 2

⇒ 2 k = 2 ln ⁡ 2 ⇒ k = ln ⁡ 2

Precisamos descobrir qual o valor de y 0 .Para isso façamos,

10.000 = y 0 e 3 ln ⁡ 2 ⇒ y 0 = 10.000 e 3 ln ⁡ 2 = 1.250

Sendo assim, inicialmente haviam 1.250 bactérias na colônia.

Resposta

y 0 = 1.250

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