Nos problemas 23-28, use (6) para encontrar f(t)

L^(-1){1 / (s(s^2 + 1))}

Passo 1

Cara, primeiramente, quem é (6)?

É isso aqui olha:

L - 1 F s . G s = f t * g t             ( I )

Ou seja, a multiplicação no domínio s é a convolução no domínio t

Então, vamos separar o nosso H ( s ) dado em uma multiplicação F s . G ( s ) :

H s = 1 s s ² + 1

H s = 1 s . 1 s ² + 1

Logo, F s = 1 s e G s = 1 s ² + 1

Agora precisamos encontrar suas transformadas inversas f ( t ) e g ( t ) , pra aí usarmos ( I ) , ok?

Passo 2

Queremos encontrar:

L - 1 F s . G s = f t * g ( t )

L - 1 1 s . 1 s ² + 1 = f t * g t       ( I I )

Onde:

f t = L - 1 1 s

g t = L - 1 1 s ² + 1

Usando o teorema 7.3 do seu livro, temos:

f t = 1

g t = s e n ( t )

Agora é só aplicar em ( I I ) :D

Passo 3

Substituindo f ( t ) e g ( t ) em ( I I ) , temos:

L - 1 1 s . 1 s ² + 1 = 1 * s e n ( t )

Pela fórmula de convolução:

L - 1 1 s . 1 s ² + 1 = ∫ 0 t 1 . s e n ( t - τ ) d τ

L - 1 1 s . 1 s ² + 1 = ∫ 0 t s e n ( t - τ ) d τ

Resolvendo a integral:

L - 1 1 s . 1 s ² + 1 = c o s ⁡ ( t - τ ) τ = 0 τ = t

L - 1 1 s . 1 s ² + 1 = cos ⁡ t - t - cos ⁡ t - 0 = 1 - c o s ⁡ ( t )

E acabamosss

Resposta

L - 1 1 s . 1 s ² + 1 = 1 - c o s ⁡ ( t )

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