Nos problemas 23-28, use (6) para encontrar f(t)

L^(-1){1/((s^2 + 4s + 5)^2)}

Passo 1

Cara, primeiramente, quem é (6)?

É isso aqui olha:

L - 1 F s . G s = f t * g t             ( I )

Ou seja, a multiplicação no domínio s é a convolução no domínio t

Então, vamos separar o nosso H ( s ) dado em uma multiplicação F s . G ( s ) :

H s = 1 ( s 2 + 4 s + 4 + 1 ) ²

H s = 1 ( ( s + 2 ) ² + 1 ) ²

H s = 1 ( s + 2 ) ² + 1 . 1 ( s + 2 ) ² + 1

Logo, F s = 1 ( s + 2 ) ² + 1 e G s = 1 ( s + 2 ) ² + 1

Agora precisamos encontrar suas transformadas inversas f ( t ) e g ( t ) , pra aí usarmos ( I ) , ok?

Passo 2

Queremos encontrar:

L - 1 F s . G s = f t * g ( t )

L - 1 1 ( s 2 + 4 s + 5 ) ² = f t * g t       ( I I )

Onde:

f t = g t = L - 1 1 ( s + 2 ) ² + 1

Usando o teorema 7.3 do seu livro e o teorema do atraso, temos:

f t = g t = e - 2 t s e n ( t )

Agora é só aplicar em ( I I ) :D

Passo 3

Substituindo f ( t ) e g ( t ) em ( I I ) , temos:

L - 1 1 ( s 2 + 4 s + 5 ) ² = e - 2 t s e n ( t ) * e - 2 t s e n ( t )

Pela fórmula de convolução:

L - 1 1 ( s 2 + 4 s + 5 ) ² = ∫ 0 t e - 2 t s e n t . e - 2 t - τ s e n ( t - τ ) d τ

Resolvendo a integral:

L - 1 1 ( s 2 + 4 s + 5 ) ² = e - 2 t ( s e n t - t . cos ⁡ t ) 2

E acabamosss

Resposta

L - 1 1 ( s 2 + 4 s + 5 ) ² = e - 2 t ( s e n t - t . cos ⁡ t ) 2

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