Enunciado

Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

y 2 . cos ⁡ x - 3 x 2 y - 2 x d x   + 2 y . s e n x - x 3 + ln ⁡ y d y = 0 ,     y 0 = e

Passo 1

Nesses exercícios, vamos trabalhar com equações diferenciais exatas, mas antes de resolver, precisamos provar que cada uma delas é exata ok?

Vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Provando que a equação diferencial é exata

Vamos verificar se a equação y 2 . cos ⁡ x - 3 x 2 y - 2 x d x   + 2 y . s e n x - x 3 + ln ⁡ y d y = 0 é exata

Ela já está escrita no formato M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, temos M x , y = y 2 . cos ⁡ x - 3 x 2 y - 2 x e N x , y = 2 y . s e n x - x 3 + ln ⁡ y

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ y 2 . cos ⁡ x - 3 x 2 y - 2 x     ∂ y

Derivando M em relação a y

∂ M ∂ y = 2 . cos ⁡ x . y - 3 x ²

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ 2 y . s e n x - x 3 + ln ⁡ y ∂ x

∂ N ∂ x = 2 y . cos ⁡ x - 3 x ²

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = 2 . cos ⁡ x . y - 3 x ²

Boaaa, provamos que a equação é exata, agora vamos lá resolver

Passo 4

Encontrando a solução genérica da equação diferencial exata

Temos

y 2 . cos ⁡ x - 3 x 2 y - 2 x d x   + 2 y . s e n x - x 3 + ln ⁡ y d y = 0

Com M x , y = y 2 . cos ⁡ x - 3 x 2 y - 2 x e N x , y = 2 y . s e n x - x 3 + ln ⁡ y

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = y 2 . cos ⁡ x - 3 x 2 y - 2 x

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ y 2 . cos ⁡ x - 3 x 2 y - 2 x   d x + g y

Resolvendo a integral:

f = y 2 . s e n x - 3 y . x 3 3 - x ² + g ( y )

f = y 2 . s e n x - x 3 . y - x ² + g ( y )

Passo 5

Temos

f = y 2 . s e n x - x 3 . y - x ² + g ( y )   ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = 2 . s e n x . y - x ³ + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = 2 y . s e n x - x 3 + ln ⁡ y :

∂ f ∂ y = 2 . s e n x . y - x ³ + g ' ( y ) = 2 y . s e n x - x 3 + ln ⁡ y

Então:

g ' y = ln ⁡ y

Integrando em relação a y :

g y = y . ln ⁡ y - y ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = y 2 . s e n x - x 3 . y - x 2 + y . ln ⁡ y - y

A solução genérica da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

y 2 . s e n x - x 3 . y - x 2 + y . ln ⁡ y - y = c

Masss, ainda falta aplicarmos o problema do valor inicial nessa solução genérica, vamos lá

Passo 6

Resolvendo o problema de valor inicial

A solução genérica da nossa equação diferencial é

y 2 . s e n x - x 3 . y - x 2 + y . ln ⁡ y - y = c

Onde c é uma constante

Mas temos que y 0 = e , então podemos descobrir o valor de c para encontrarmos uma solução única

Substituindo x = 0 e y = e :

e 2 . s e n 0 - 0 3 . e - 0 2 + e . ln ⁡ e - e = c

c = 0

Então, a solução da nossa equação diferencial com o problema de valor inicial dado é:

y 2 . s e n x - x 3 . y - x 2 + y . ln ⁡ y - y = 0

Resposta

y 2 . s e n x - x 3 . y - x 2 + y . ln ⁡ y - y = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. f ) e x 2 + y 2 x   d x + y   d y
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. i )   - y x 2 + y 2   d x + x x 2 + y 2 d y ,   x , y ∈ Ω ,   onde Ω é o conjunto x , y ∈ R 2 y > 0 ∪ { x , y ∈ R 2 | ...
Mostre que existem naturais m   e   n   para os quais a forma diferencial 3 x m + 1 y n + 1 d x + 2 x m + 2 y n   d y É exata.
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. d )   ( x + y )   d x + ( x - y ) d y
5) Determine u (x, y), que só dependa de y, de modo que ( y 2   +   1 )   u   ( x ,   y )   d x   +   ( x   +   y 2   -   1 )   u   ( x ,   y )   d y seja exata
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. e )   ( x + y )   d x + ( y - x ) d y
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. h )   - y x 2 + y 2   d x + x x 2 + y 2 d y ,   y > 0
3) Considere a forma diferencial u   ( x ,   y )   P   ( x ,   y )   d x   +   u   ( x ,   y )   Q   ( x ,   y )   d y ,onde P, Q e u são supostas de classe C1 no aberto Ω ⊂ ℝ2. Pr...
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. b )   2 x y   d x + x 2 d y
4 ) Determine u (x, y), que só dependa de x, tal que ( x 3   +   x   +   y )   u   ( x ,   y )   d x   - x u   ( x ,   y )   d y seja exata
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. x   d x + y   d y + z   d z
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. b )   y z   d x + x z   d y + x y   d z