Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y   d x = 2 x + y d y

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Bom, olhando pra nossa equação...

y   d x = 2 x + y d y

Vemos que a parte M ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição x = v y .

Passo 2

Vamos lá, se x = v y , temos d x = v   d y + y   d v . Vamos substituir isso na nossa equação então...

y   d x = 2 x + y d y

y v   d y + y   d v = 2 v y + y d y

y v   d y + y 2   d v = 2 v y   d y + 2 y   d y

y 2   d v = v y   d y + 2 y   d y

y   d v = v   d y + 2   d y

y   d v = v + 2 d y

d v v + 2 = d y y

Temos uma EDO separável agora, só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d v v + 2 = ∫ d y y

ln ⁡ v + 2 = ln ⁡ y + C

Usando as propriedades do logaritmo...

ln ⁡ v + 2 y = C

e ln ⁡ v + 2 y = e C

v + 2 y = C 1

v + 2 = C 1 y

Agora, como x = v y , temos: v = x y :

x y + 2 = C 1 y

x + 2 y = C 1 y 2

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

x + 2 y = C 1 y 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x - y d x + xd y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. - yd x + x + x y d y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x d y d x - y = x 2 + y 2
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x 4 + y 4 d x - 2 x 3 yd y = 0
Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x = y x + x y