Enunciado

Mostre que qualquer equação separável

M x + N y y ' = 0

Também é exata.

Passo 1

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

∂ ∂ y P x , y - ∂ ∂ x Q x , y = 0

Passo 2

Parindo da nossa suposta equação

M x + N y y ' = 0

Podemos reescrevela como

M x   d x + N y d y = 0

Assim

d N y d x - d M x d y = 0 - 0 = 0

Logo qualquer função dada por

M x + N y y ' = 0

é exata.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução x ln ⁡ y + x y + y ln ⁡ x + x y y ' = 0 ; x0 , y0