Enunciado

Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

e x + y d x + 2 + x + y e y d y = 0 ,     y 0 = 1

Passo 1

Nesses exercícios, vamos trabalhar com equações diferenciais exatas, mas antes de resolver, precisamos provar que cada uma delas é exata ok?

Vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Provando que a equação diferencial é exata

Vamos verificar se a equação e x + y d x + 2 + x + y e y d y = 0 é exata

Ela já está escrita no formato M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, temos M x , y = e x + y e N x , y = 2 + x + y e y

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ e x + y   ∂ y

Derivando M em relação a y

∂ M ∂ y = 1

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ 2 + x + y e y ∂ x

∂ N ∂ x = 1

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = 1

Boaaa, provamos que a equação é exata, agora vamos lá resolver

Passo 4

Encontrando a solução genérica da equação diferencial exata

Temos

e x + y d x + 2 + x + y e y d y = 0

Com M x , y = e x + y e N x , y = 2 + x + y e y

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = e x + y

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ e x + y   d x + g y

Resolvendo a integral:

f = e x + y x + g ( y )

Passo 5

Temos

f = e x + y x + g ( y )   ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = x + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = 2 + x + y e y :

∂ f ∂ y = x + g ' ( y ) = 2 + x + y e y

Então:

g ' y = 2 + y . e y

Integrando em relação a y :

g y = 2 y + y . e y - e y   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = e x + y x + 2 y + y . e y - e y

A solução genérica da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

e x + y x + 2 y + y . e y - e y = c

Masss, ainda falta aplicarmos o problema do valor inicial nessa solução genérica, vamos lá

Passo 6

Resolvendo o problema de valor inicial

A solução genérica da nossa equação diferencial é

e x + y x + 2 y + y . e y - e y = c

Onde c é uma constante

Mas temos que y 0 = 1 , então podemos descobrir o valor de c para encontrarmos uma solução única

Substituindo x = 0 e y = 1 :

e 0 + 1.0 + 2.1 + 1 . e 1 - e 1 = c

c = 1 + 2 + e - e

c = 3

Então, a solução da nossa equação diferencial com o problema de valor inicial dado é:

e x + y x + 2 y + y . e y - e y = 3

Resposta

e x + y x + 2 y + y . e y - e y = 3

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