Enunciado

Uma família de curvas pode ser auto-ortogonal uma vez que um membro das trajetórias ortogonais é também um membro da família original. Nos problemas 39 e 40, mostre que a família de curvas é auto-ortogonal.

p a r á b o l a s       y 2 = c 1 . 2 x + c 1

Passo 1

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y 2 = c 1 . 2 x + c 1 ( I )

Usando a regra da cadeia:

2 y d y d x = 2 c 1 + 0

d y d x = c 1 y   ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

y 2 = c 1 . 2 x + c 1

y 2 = 2 c 1 . x + c 1 ²

c 1 2 + 2 x . c 1 + y 2 = 0

Temos uma equação do 2° grau em c 1 , vamos resolver:

c 1 = - 2 x ± 2 x 2 - 4.1 . y ² 2

c 1 = - 2 x ± 4 ( x 2 - y 2 ) 2

c 1 = - 2 x ± 2 ( x 2 - y 2 ) 2

c 1 = - x ± ( x 2 - y 2 )

Dessa forma, temos:

c 1 ' = - x + x 2 - y 2       e       c 1 ' ' = - x - ( x 2 - y 2 )

Belezinha, vamos substituir na equação ( I I ) então

d y d x = - x ± ( x 2 - y 2 ) y

Passo 2

Temos

d y d x = - x ± ( x 2 - y 2 ) y

Então:

d y d x 1 = - x + ( x 2 - y 2 ) y

d y d x 2 = - x - ( x 2 - y 2 ) y

Dessa forma, o produto entre as derivadas vale 1 , sendo assim, provamos a auto-ortogonalidade :D

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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