Enunciado

Em cada problema de 19 a 22, use a expansão em autofunções para encontrar a solução do problema de contorno dado.

21. u t = u x x + 1 - 1 - 2 x ,   u 0 , t = 0 ,   u 1 , t = 0 ,   u x ,   0 = 0 ;

Veja Prolema 5 desta seção.

Passo 1

Baseado nas condições de contorno, a autofunção é dada por:

ϕ n x = 2 s e n   n π x

com autovalor associado

λ n = n 2 π 2

Assumimos então que a solução será dada por

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n t ϕ n x

Passo 2

Subistituindo na equação diferencial dada

∑ n = 1 ∞ b n ' t ϕ n x = ∑ n = 1 ∞ b n t ϕ n ' ' x + 1 - 1 - 2 x

= - ∑ n = 1 ∞ λ n b n t ϕ _ n x + 1 - 1 - 2 x

∑ n = 1 ∞ b ' n t λ n b n t ϕ n x = 1 - 1 - 2 x

Como visto no problema 5 dessa seção, temos:

1 - 1 - 2 x = ∑ n = 1 ∞ 4 2 s e n   n π 2 n 2 π 2 ϕ n x

Passo 3

Substituindo do lado direito da igualdade, nós obtemos:

∑ n = 1 ∞ b ' n t λ n b n t - 4 2 s e n   n π 2 n 2 π 2 ϕ n x = 0

Como o resultado da equação é váido para 0 < x < 1 , segue que:

b n ' t + n 2 π 2 b n t = 4 2 s e n   n π 2 n 2 π 2 ,           n = 1 ,   2 ,   3 …

Baseado nas condições iniciais nós também temos que b n 0 = 0   para n = 1 , 2,3 …

Passo 4

Então nossa solução pra edo de primeira ordem será

b n t = 4 2 s e n   n π 2 n 4 π 4 1 - e - n 2 π 2 t   ,   n = 1 ,   2 …

Logo, a solução do problema do valor de contorno será:

u x , t = 8 π 4 ∑ n = 1 ∞ s e n n π 2 n 4 1 - e - n 2 π 2 t s e n   n π x

Resposta

u x , t = 8 π 4 ∑ n = 1 ∞ s e n n π 2 n 4 1 - e - n 2 π 2 t s e n   n π x

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