Enunciado

Nos problemas 31-38, use o teorema 7.10 para encontrar a transformada de Laplace da função periódica dada.

f u n ç ã o   d e n t e   d e   s e r r a

Passo 1

Salveee cara, bora lá!

Temos essa função periódica:

O teorema 7.10 do seu livro fala que quando temos uma função periódica f ( t ) com período T , sua transformada vai ser

L f t = 1 1 - e - s T ∫ 0 T e - s t f t d t

Então vamos aplicar esse teorema aqui no nosso caso beleza? Afinal, temos uma função periódica com período T = b

Passo 2

Vamos aplicar as informações da nossa função no teorema 7.10:

L f t = 1 1 - e - s T ∫ 0 T e - s t f t d t

Por trigonometria, o valor da função em dado valor de t vai ser a b . t , certo?

L f t = 1 1 - e - s . b ∫ 0 b e - s t . a b . t   d t

L f t = 1 1 - e - s . b a b ∫ 0 b e - s t . t   d t

Resolvendo a integral:

L f t = a b ( 1 - e - s . b ) 1 s 2 . - s . e - s t . t - e - s t t = 0 t = b

L f t = a b ( 1 - e - s . b ) 1 s 2 . - s . e - s b . b - e - s b - 1 s 2 . - s . e - s . 0 . 0 - e - s . 0

L f t = a b ( 1 - e - s . b ) e - s b s 2 . - s . b - 1 + 1 s 2

Então, temos

L f t = a s ² b ( 1 - e - s . b ) e - s b . - s . b - 1 + 1

Resposta

L f t = a s ² b ( 1 - e - s . b ) e - s b . - s . b - 1 + 1

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