Enunciado

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

4 x 2 y ' ' + y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

4 x 2 y ' ' + y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

4 x 2 y ' ' + y = 0

4 x 2 m m - 1 x m - 2 + x m = 0

4 m 2 x m - 4 m x m + x m = 0

x m 4 m 2 - 4 m + 1 = 0

Daqui a gente tem que 4 m 2 - 4 m + 1 . Vamos jogar uma fórmula de Bháskara aqui e resolver essa equaçãozinha!

Passo 3

Resolvendo...

4 m 2 - 4 m + 1

Δ = - 4 2 - 4 1 4 = 0

m = 4 8 = 1 2

Então aqui só temos uma raiz, então nossa solução é dada por:

y = c 1 x m + c 2 x m ln ⁡ x

E como m = 1 2 :

y = c 1 x 1 2 + c 2 x 1 2 ln ⁡ x

E pronto! 😉

Resposta

y = c 1 x 1 2 + c 2 x 1 2 ln ⁡ x

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