Enunciado

Nos problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada μ ( x , y ) seja um fator de integração

y . ( x + y + 1 ) d x + ( x + 2 y ) d y = 0 ,             μ x , y = e x

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

E agora a definição de fator de integração:

Se tivermos uma equação diferencial não exata e multiplicarmos ela por um fator de integração μ x , y , a equação deve se tornar exata.

Então, nesse problema vamos fazer o seguinte:

- Primeiro vamos multiplicar toda a equação pelo fator de integração μ x , y

- Com isso, temos que provar que a equação diferencial é exata, mostrando que μ x , y é um fator de integração

- Depois, resolvemos a equação diferencial exata :)

Vamos lá!

Passo 2

Verificando o fator de integração

Temos a equação y . ( x + y + 1 ) d x + ( x + 2 y ) d y = 0 , vamos multiplicar todos os termos por μ x , y = e x , aí a nossa equação se torna:

e x . y . ( x + y + 1 ) d x + e x ( x + 2 y ) d y = 0

Agora vamos verificar que a equação e x . y . ( x + y + 1 ) d x + e x ( x + 2 y ) d y = 0

é exata, e aí estará provado que e x é um fator de integração

Ela já está escrita no formato M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, temos M x , y = e x . y . ( x + y + 1 ) e N x , y = e x ( x + 2 y )

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ e x . y . ( x + y + 1 ) ∂ y

Derivando M em relação a y

∂ M ∂ y = x . e x + 2 y . e x + e x

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ e x ( x + 2 y ) ∂ x

∂ N ∂ x = x . e x + 2 y . e x + e x

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = x . e x + 2 y . e x + e x

Logo, nossa equação é exata, então, o e x   realmente é um fator de integração galerinha

Agora vamos resolver a equação e acabou hehehe

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial

Temos

e x . y . ( x + y + 1 ) d x + e x ( x + 2 y ) d y = 0

Com M x , y = e x . y . ( x + y + 1 ) e N x , y = e x ( x + 2 y )

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = e x . y . ( x + y + 1 )

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ e x . y . ( x + y + 1 ) d x + g y

f = x y . e x + y 2 e x + g y

Passo 5

Temos

f = x y . e x + y 2 e x + g y   ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = x . e x + 2 y . e x + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = e x x + 2 y = e x . x + e x . 2 y :

∂ f ∂ y = x . e x + 2 y . e x + g ' ( y ) = e x . x + e x . 2 y

Então:

g ' y = 0

Integrando em relação a y :

g y = C   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = x y . e x + y 2 e x + C

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

x y . e x + y 2 e x + C = c

Resposta

x y . e x + y 2 e x + C = c

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