Enunciado

Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

1 1 + y ² + cos ⁡ x - 2 x y d y d x = y ( y + s e n x ) ,     y 0 = 1

Passo 1

Nesses exercícios, vamos trabalhar com equações diferenciais exatas, mas antes de resolver, precisamos provar que cada uma delas é exata ok?

Vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Provando que a equação diferencial é exata

Vamos verificar se a equação 1 1 + y ² + cos ⁡ x - 2 x y d y d x = y ( y + s e n x ) é exata

Primeiramente, temos que escrever no formato M x , y d x + N x , y d y = 0 , vamos começar multiplicando tudo por d x :

1 1 + y ² + cos ⁡ x - 2 x y d y = y ( y + s e n x ) d x

Passando tudo pra um lado só:

y y + s e n x d x - 1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y d y = 0

Então, temos M x , y = y y + s e n x e N x , y = - 1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y = - 1 1 + y 2 - cos ⁡ x + 2 x y

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ y y + s e n x ∂ y

Derivando M em relação a y

∂ M ∂ y = 2 y + s e n ( x )

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ - 1 1 + y 2 - cos ⁡ x + 2 x y ∂ x

∂ N ∂ x = s e n x + 2 y

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = s e n x + 2 y

Boaaa, provamos que a equação é exata, agora vamos lá resolver

Passo 4

Encontrando a solução genérica da equação diferencial exata

Temos

y y + s e n x d x - 1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y d y = 0

Com M x , y = y y + s e n x e N x , y = - 1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y = - 1 1 + y 2 - cos ⁡ x + 2 x y

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = y y + s e n x = y 2 + y . s e n ( x )

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ y 2 + y . s e n ( x )   d x + g y

Resolvendo a integral:

f = y 2 . x - y . cos ⁡ x + g ( y )

Passo 5

Temos

f = y 2 . x - y . cos ⁡ x + g ( y )   ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = 2 x y - c o s ⁡ ( x ) + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = - 1 1 + y 2 - cos ⁡ x + 2 x y :

∂ f ∂ y = 2 x y - c o s ⁡ ( x ) + g ' ( y ) = - 1 1 + y 2 - cos ⁡ x + 2 x y

Então:

g ' y = - 1 1 + y ²

Integrando em relação a y :

g y = - arctan ⁡ y   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = y 2 . x - y . cos ⁡ x - arctan ⁡ y  

A solução genérica da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

y 2 . x - y . cos ⁡ x - arctan ⁡ y   = c

Masss, ainda falta aplicarmos o problema do valor inicial nessa solução genérica, vamos lá

Passo 6

Resolvendo o problema de valor inicial

A solução genérica da nossa equação diferencial é

y 2 . x - y . cos ⁡ x - arctan ⁡ y   = c

Onde c é uma constante

Mas temos que y 0 = 1 , então podemos descobrir o valor de c para encontrarmos uma solução única

Substituindo x = 0 e y = 1 :

1 2 . 0 - 1 . cos ⁡ 0 - arctan ⁡ 1   = c

c = - 1 - π 4

Então, a solução da nossa equação diferencial com o problema de valor inicial dado é:

y 2 . x - y . cos ⁡ x - arctan ⁡ y   = - 1 - π 4

Resposta

y 2 . x - y . cos ⁡ x - arctan ⁡ y   = - 1 - π 4

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