Enunciado

Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

y ' ' ' - 8 y = 0 ,       y 0 = 0 ,       y ' 0 = - 1 ,     y ' ' 0 = 0

Passo 1

E aíí, vamos pra mais um probleminha?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

E aí depois disso vamos aplicar as condições iniciais que ele deu, pra aí descobrirmos os valores das constantes

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' ' - 8 y = 0

Assim:

m 3 - 8 = 0

m 3 = 8

Resolvendo a equação, encontramos as raízes m = 2 , m = - 1 + 3 i e m = - 1 - 3 i

Então, a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e 2 x + c 2 . e ( - 1 + 3 i ) x + c 3 . e ( - 1 - 3 i ) x

Reescrevendo a parte complexa utilizando a fórmula de Euler:

y = c 1 . e 2 x + e - x . c 2 . cos ⁡ 3 x + c 3 . s e n 3 x

Agora temos que aplicar as condições iniciais, beleza?

Passo 3

Fazendo y 0 = 0 :

y 0 = 0 = c 1 + c 2

Fazendo y ' 0 = - 1 :

y ' 0 = - 1 = 2 c 1 - c 2 + 3 c 3

E agora y ' ' 0 = 0 :

y ' ' 0 = 0 = 4 c 1 - 2 c 2 - 2 3 c 3

Então temos o sistema:

c 1 + c 2 = 0 2 c 1 - c 2 + 3 c 3 = - 1 4 c 1 - 2 c 2 - 2 3 c 3 = 0

De onde encontramos c 1 = - 1 6 , c 2 = 1 6 e c 3 = - 1 2 3

Então:

y = - 1 6 . e 2 x + e - x . 1 6 . cos ⁡ 3 x - 1 2 3 . s e n 3 x

Resposta

y = - 1 6 . e 2 x + e - x . 1 6 . cos ⁡ 3 x - 1 2 3 . s e n 3 x

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