Enunciado

Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

46. d y d x = y 2 - 1 x 2 - 1 , no qual y 2 = 2 .

Passo 1

Então galera, o nosso objetivo nessa questão é, primeiramente, resolver a equação diferencial da forma que estamos estudando, que é separando as variáveis, isto é, integrando tudo que tem x de um lado e tudo que tem y do outro, beleza? Show!

Quando a questão fala de condição inicial isso quer dizer que depois de resolvermos a equação diferencial, aplicando os pontos que a questão deu, conseguiremos determinar a constante arbitrária que surge na integração. O ponto dado serve exclusivamente para isso, tudo bem? Então vamos começar!

A equação que nos foi dada é:

d y d x = y 2 - 1 x 2 - 1

Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:

d y y 2 - 1 = d x x 2 - 1

Opa! Variáveis devidamente separadas. Então simbora para o último passo!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ d y y 2 - 1 = ∫ d x x 2 - 1

Para as duas integrais temos um resultado tabelado, galera! A fórmula para uma integral desse tipo é a seguinte:

∫ d u u 2 - a 2 = 1 2 ln ⁡ u - a u + a + c

Aplicando a ideia para a integral da esquerda, teremos:

∫ d y y 2 - 1 = 1 2 ln ⁡ y - 1 y + 1   + c 1

E agora aplicando para a integral da direita:

∫ d y x 2 - 1 = 1 2 ln ⁡ x - 1 x + 1   + c 2

Show!

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

1 2 ln ⁡ y - 1 y + 1   + c 1 = 1 2 ln ⁡ x - 1 x + 1   + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

y - 1 y + 1 = x - 1 x + 1 + c 3

Note que agora que resolvemos a equação diferencial surgiu uma constante arbitrária, conforme discutimos no passo 1. Aplicando o ponto y 2 = 2 , teremos:

2 - 1 2 + 1 = 2 - 1 2 + 1 + c 3

∴ c 3 = 0

Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:

y - 1 y + 1 = x - 1 x + 1

E está aí a resolução! 😉

Resposta

y - 1 y + 1 = x - 1 x + 1

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