Enunciado

Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

47. x 2 y ' = y - x y , no qual y - 1 = - 1 .

Passo 1

Então galera, o nosso objetivo nessa questão é, primeiramente, resolver a equação diferencial da forma que estamos estudando, que é separando as variáveis, isto é, integrando tudo que tem x de um lado e tudo que tem y do outro, beleza? Show!

Quando a questão fala de condição inicial isso quer dizer que depois de resolvermos a equação diferencial, aplicando os pontos que a questão deu, conseguiremos determinar a constante arbitrária que surge na integração. O ponto dado serve exclusivamente para isso, tudo bem? Então vamos começar!

A equação que nos foi dada é:

x 2 y ' = y - x y

Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:

x 2 . d y d x = y 1 - x

d y y = 1 - x x 2 d x

d y y = x - 2 - 1 x d x

Opa! Variáveis devidamente separadas. Então simbora para o último passo!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ d y y = ∫ x - 2 d x - ∫ 1 x d x

Para a integral do lado esquerdo temos um resultado bem conhecido e tabelado, que é:

∫ d y y = ln ⁡ y + c 1

Para a primeira integral do lado direito devemos utilizar essa regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + c

Aplicando a ideia, teremos:

∫ x - 2 d x = x - 1 - 1 + c 2 = - 1 x + c 2

E para a segunda integral da direita, assim como para a integral da esquerda, temos um resultado pronto:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c 2

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

ln ⁡ y + c 1 = - 1 x - ln ⁡ x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

x y = c 3 e - 1 x

Note que agora que resolvemos a equação diferencial surgiu uma constante arbitrária, conforme discutimos no passo 1. Aplicando o ponto y - 1 = - 1 , teremos:

- 1 . - 1 = c 3 e - 1 - 1

1 = c 3 e

∴ c 3 = e

Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:

x y = e . e - 1 x

x y = e 1 - 1 x

E está aí a resolução! 😉

Resposta

x y = e 1 - 1 x

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d y d x = x 2 - 1 y 2 + 1 , y - 1 = 1
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d y d x = x + y x - y
3 y 2 + 2 x y - 2 x y + x 2 d y d x = 0
Um pequeno lago contendo 1.000.000 de galões (cerca de 4.550.000 litros) de água não contém, inicialmente, produto químico indesejável (veja o Problema 21 da Seção 1.1). O lago recebe água contendo 0,