Enunciado

Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

45. d x d y = 4 x 2 + 1 , no qual   x π 4 = 1 .

Passo 1

Então galera, o nosso objetivo nessa questão é, primeiramente, resolver a equação diferencial da forma que estamos estudando, que é separando as variáveis, isto é, integrando tudo que tem x de um lado e tudo que tem y do outro, beleza? Show!

Quando a questão fala de condição inicial isso quer dizer que depois de resolvermos a equação diferencial, aplicando os pontos que a questão deu, conseguiremos determinar a constante arbitrária que surge na integração. O ponto dado serve exclusivamente para isso, tudo bem? Então vamos começar!

A equação que nos foi dada é:

d x d y = 4 x 2 + 1

Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:

d x x 2 + 1 = 4 d y

Opa! Variáveis devidamente separadas. Então simbora para o último passo!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

4 ∫ d y = ∫ d x x 2 + 1

Para a integral da esquerda temos um resultado bastante conhecido, que é:

4 ∫ d y = 4 y + c 1

E, felizmente, para a integral da direita também temos um resultado bastante famoso e tabelado, que é:

∫ d u a 2 + u 2 = 1 a a r c tan ⁡ u a + c

Como temos a = 1 e u = x , substituindo, teremos:

∫ d x x 2 + 1 = a r c tan ⁡ x + c 2

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

4 y + c 1 = a r c tan ⁡ x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

4 y + c 3 = a r c tan ⁡ x

Note que agora que resolvemos a equação diferencial surgiu uma constante arbitrária, conforme discutimos no passo 1. Aplicando o ponto x π 4 = 1 , teremos:

4 . π 4 + c 3 = a r c tan ⁡ 1

c 3 = π 4 - π = - 3 π 4

Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:

4 y - 3 π 4 = a r c tan ⁡ x

E está aí a resolução! 😉

Resposta

4 y - 3 π 4 = a r c tan ⁡ x

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