Enunciado

Uma equação diferencial da forma d y d x = f a x + b y + c ,   b ≠ 0 , pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição u = a x + b y + c . Use este procedimento para resolver os Problemas 57-62.

59. d y d x = t g 2 x + y

Passo 1

Então pessoal, aqui o objetivo é resolvermos a equação diferencial dada utilizando a substituição indicada pelo enunciado, tudo bem? Sendo assim, vamos aplicar a ideia para ver o que surge! A equação que nos foi dada é:

d y d x = t g 2 x + y

Fazendo a seguinte substituição:

u = x + y

Teremos:

d u d x = 1 + d y d x

Substituindo o que encontramos na nossa equação diferencial, teremos:

d u d x - 1 = t g 2 u

Isolando as variáveis:

d u d x = t g 2 u + 1

d u t g 2 u + 1 = d x

Lembrando que t g 2 u + 1 = s e c 2 u , podemos fazer:

d u s e c 2 u = d x

c o s 2 u d u = d x

Show!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ c o s 2 u d u = ∫ d x

Para a integral da esquerda precisamos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:

c o s 2 u = 1 2 + cos ⁡ 2 u 2

Substituindo, teremos:

∫ 1 2 + cos ⁡ 2 u 2 d u = 1 2 ∫ d u + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 u d u

E nosso resultado será:

1 2 ∫ d u + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 u d u = 1 2 u + 1 4 s e n   2 u + c 1

Já para a integral da direita o resultado é bem tranquilo

∫ d x = x + c 2

Top!

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

1 2 u + 1 4 s e n   2 u + c 1 = x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

1 2 u + 1 4 s e n   2 u = x + c 3

Mas note que estamos com um resultado em u e queremos um resultado em y , certo? Logo, lembrando da substituição que fizemos lá no passo 1, teremos:

1 2 x + y + 1 4 s e n   2 x + 2 y = x + c 3

E esse é nosso resultado!

Resposta

1 2 x + y + 1 4 s e n   2 x + 2 y = x + c 3

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