Enunciado

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

44. y . d x d y - x = 2 y 2 , no qual y 1 = 5 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

y . d x d y - x = 2 y 2

Escrever no formato do passo 1 parece bem complicado para essa equação. Uma alternativa boa é inverter tudo, ou seja, encontrarmos d x d y ao invés de d y d x e fazer P y e Q y ao invés de P x e Q x . Manipulando nossa equação, teremos:

d x d y - x y = 2 y

E então tiramos que:

P y = - 1 y

Q y = 2 y

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Como invertemos, teremos que calcular:

x = e - ∫ P d y . ∫ e ∫ P d y . Q d y + c

x = e ∫ 1 y d y . 2 ∫ e - ∫ 1 y d y . y d y + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 1 y d y = ln ⁡ y

Substituindo:

x = e ln ⁡ y . 2 ∫ e - ln ⁡ y . y d y + c

Utilizando essa propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

x = y . 2 ∫ 1 y . y d y + c

Simplificando:

x = y . 2 ∫ d y + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ d y

O resultado é muuuuito tranquilo, saca só:

∫ d y = y

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

x = y . 2 ∫ d y + c

x = y . 2 y + c

x = 2 y 2 + c y

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é y 1 = 5 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

1 = 2 . 5 2 + c . 5

1 = 50 + 5 c

∴ c = - 49 5

E então o resultado final mesmo será esse:

x = 2 y 2 - 49 5 y

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

x = 2 y 2 - 49 5 y

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial: y ' = x e x - y c o s s e c   y
Resolva a equação diferencial. y ' = e y x y
Resolva a equação diferencial. x y ' + y = x
Determine se a equação diferencial é linear. x y + x = e x y '
Determine se a equação diferencial é linear. x y ' + ln ⁡ x - x 2 y = 0
Determine se a equação diferencial é linear. y + s e n   x = x 3 y '
Resolva a equação diferencial. y ' = x y e x 2
Resolva a equação diferencial. y ' = x e y x - 2  
Uma trajetória de fase é mostrada para as populações de coelhos (C) e raposas (R).Descreva como cada população muda com o passar do tempo.Use sua descrição para fazer um esboço gro...
Os gráficos de populações de duas espécies são ilustrados. Use-os para esboçar a trajetória de fase correspondente.
Os gráficos de populações de duas espécies são ilustrados. Use-os para esboçar a trajetória de fase correspondente.
As populações de pulgões e joaninhas são modeladas pelas equações d P d t = 2 P - 0,01 P J d J d t = - 0,5 J + 0,0001 P J Calcule as soluções de equilíbrio e explique seu significa...