Enunciado

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

50. x y ' + y = e x , no qual y 1 = 2 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

x y ' + y = e x

Como queremos escrever no formato:

d y d x + P . y = Q

Teremos:

x . d y d x + y = e x

d y d x + 1 x y = e x x

E então tiramos que:

P x = 1 x

Q x = e x x

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

y = e - ∫ 1 x d x . ∫ e ∫ 1 x d x . e x x d x + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Substituindo:

y = e - ln ⁡ x . ∫ e ln ⁡ x . e x x d x + c

Utilizando essa propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

y = 1 x . ∫ x . e x x d x + c

Simplificando:

y = 1 x . ∫ e x d x + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ e x d x

Para nossa sorte o resultado dessa integral é bem conhecido, saca só:

∫ e x d x = e x

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

y = 1 x . ∫ e x d x + c

y = 1 x . e x + c

y = e x x + c x

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é y 1 = 2 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

2 = e 1 1 + c 1

2 = e + c

∴ c = 2 - e

E então o resultado final mesmo será esse:

y = e x x + 2 - e x

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = e x x + 2 - e x

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Resolva a equação diferencial. 2 x 2 d x - 3 y ⋅ c o s s e cx d y = 0
Resolva a equação diferencial. y ' = x e y x - 2
Resolva a equação diferencial: y ' = y 2 - 1 x - 1
Resolva a equação diferencial: x x - 1 d y - y d x = 0
Calcule d x d t = - x + 2