Enunciado

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

52. s e n   x . d y d x + cos ⁡ x . y = 0 , no qual y - π 2 = 1 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

s e n   x . d y d x + cos ⁡ x . y = 0

Como queremos escrever no formato:

d y d x + P . y = Q

Teremos:

d y d x + cos ⁡ x s e n   x y = 0

d y d x + c o t g   x . y = 0

E então tiramos que:

P x = c o t g   x

Q x = 0

Como Q x = 0 , então nossa solução se resume à:

y = c e - ∫ P d x

Show de bola, menos trabalho pra gente, não é mesmo? Então bora que bora!

Passo 3

Substituindo na solução geral:

y = c e - ∫ P d x

y = c e - ∫ c o t g   x d x

Para a integral do expoente, temos que:

∫ c o t g   x d x = ln ⁡ s e n   x

Agora que descobrimos o resultado da integral, vamos substituir lá na solução geral, saca só:

y = c e - ∫ c o t g   x d x

y = c e - ln ⁡ s e n   x

Utilizando essa propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

y = c s e n   x

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é y - π 2 = 1 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

1 = c s e n   - π 2

1 = c - 1

∴ c = - 1

E então o resultado final mesmo será esse:

y = - 1 s e n   x

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = - 1 s e n   x

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