Enunciado

31. Seja P ( t ) o nível de desempenho de alguém desenvolvendo determinada habilidade como uma função do tempo de treinamento t . O gráfico de P ( t ) é chamado curva de aprendizagem. No exercício 13 na Seção 9.1 propusemos a equação diferencial

d P d t = k [ M - P t ]

Como um modelo razoável para a aprendizagem, onde k é uma constante positiva. Resolva essa equação diferencial linear e use sua solução para traçar a curva de aprendizagem.

Passo 1

Vamos chamar P t = P e d P d t = P ' para não dificultar as contas. O formato da nossa EDO passa a ser P ' = k M - k P . E então temos P ' + k P = k M .

Passo 2

Então a EDO é linear com p t = k e q t = k M .

Passo 3

O fator integrante é dado por i t = e ∫ p t d t , ou seja, i t = e ∫ k d t = e k t .

Passo 4

Sabendo que dado o fator integrante i ( t ) , a solução P ( t ) é dada por por P t = 1 i ( t ) ∫ i t q t d t + C . Já sabemos que i t = e k t e q t = k M .

Passo 5

Então precisamos calcular ∫ e k t ⋅ k M t . Fazendo k t = u , temos que k d t = d u , ou seja, d t = d u k . Então temos ∫ e k t ⋅ k M t = ∫ e u k M d u k = M e u = M e k t

Passo 6

Então a solução é dada por P t = 1 e k t M e k t + C = M + C e - k t

Passo 7

Jogando valores para as constantes, temos o seguinte gráfico ( M = 5 ,   C = 1 ,   k = 1 ) :

Resposta

P t = M + C e - k t

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