Enunciado

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

53. d y d x = y y - x , no qual y 5 = 2 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

d y d x = y y - x

Escrever no formato do passo 1 parece bem complicado para essa equação. Uma alternativa boa é inverter tudo, ou seja, encontrarmos d x d y ao invés de d y d x e fazer P y e Q y ao invés de P x e Q x . Manipulando nossa equação, teremos:

d x d y = y - x y

d x d y + 1 y x = 1

E então tiramos que:

P y = 1 y  

Q y = 1

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Como invertemos, teremos que calcular:

x = e - ∫ P d y . ∫ e ∫ P d y . Q d y + c

x = e - ∫ 1 y d y . ∫ e ∫ 1 y d y d y + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 1 y d y = ln ⁡ y

Substituindo:

x = e - ln ⁡ y . ∫ e ln ⁡ y d y + c

Utilizando essa propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

x = 1 y . ∫ y d y + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:

∫ y d y

Para nossa sorte o resultado dessa integral é tabelado e bem conhecido, saca só:

∫ y d y = y 2 2

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

x = 1 y . ∫ y d y + c

x = 1 y . y 2 2 + c

x = y 2 + c y

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é y 5 = 2 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

5 = 2 2 + c 2

c 2 = 4

∴ c = 8

E então o resultado final mesmo será esse:

x = y 2 + 8 y

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

x = y 2 + 8 y

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