Enunciado

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

46. d Q d x = 5 x 4 Q , no qual Q 0 = - 7 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d Q d x + P . Q = K

No qual P e K são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

Q = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . K d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é K e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

d Q d x = 5 x 4 Q

Como queremos escrever no formato:

d Q d x + P . Q = K

Teremos:

d Q d x - 5 x 4 Q = 0

E então tiramos que:

P x = - 5 x 4

K x = 0

Como K x = 0 , então nossa solução se resume à:

Q = c e - ∫ P d x

Show de bola, menos trabalho pra gente, não é mesmo? Então bora que bora!

Passo 3

Substituindo na solução geral:

Q = c e - ∫ P d x

Q = c e ∫ 5 x 4 d x

Para a integral do expoente, temos que:

5 ∫ x 4 d x = 5 x 5 5 = x 5

Agora que descobrimos o resultado da integral, vamos substituir lá na solução geral, saca só:

Q = c e ∫ 5 x 4 d x

Q = c e x 5

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é Q 0 = - 7 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

- 7 = c e 0

∴ c = - 7

E então o resultado final mesmo será esse:

Q = - 7 e x 5

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

Q = - 7 e x 5

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