Enunciado

Nos problemas 47 e 48, encontre valores de m   para que y = e m x seja uma solução para cada equação diferencial.

y ' ' - 5 y ' + 6 y = 0

Passo 1

Opa! Tudo joinha?

Bom, pra que y = e m x seja solução da equação y ' ' - 5 y ' + 6 y = 0 , a gente precisa que y ' ' , y ' e y satisfaça a equação.

Vamos começar calculando essas derivadas então...

y = e m x

y ' = m e m x

y ' ' = m 2 e m x

Passo 2

Beleza! Agora a gente vai substituir tudo isso na equação:

y ' ' - 5 y ' + 6 y = 0

m 2 e m x - 5 m e m x + 6 e m x = 0

m 2 e m x - 5 m e m x + 6 e m x = 0

e m x m 2 - 5 m + 6 = 0

A gente sabe que e m x ≠ 0 , para quaisquer m   e   x . Então a única possibilidade é...

m 2 - 5 m + 6 = 0

Resolvendo essa equaçãozinha, encontramos:

m = 2   e   m = 3

Show! Então as soluções que procuramos são y = e 2 x   e   y = e 3 x .

Resposta

m = 2   e   m = 3

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