Enunciado

Nos Problemas 53-56, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas.

53. y ' ' - 10 y ' + 25 y = 0 ,   y 0 = 1 ,   y 1 = 0

Passo 1

Então pessoal, o formato das equações diferenciais dessa seção é o seguinte:

a y ' ' + b y ' + c y = 0

O que precisamos fazer é uma substituição aonde y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , ou seja, trocamos a ordem da derivada por expoentes e encontramos as raízes da nossa função característica, que é uma função que depende de m . Uma vez que encontramos as raízes teremos três resultados possíveis, assim como demonstrado e discutido na seção em questão.

Vamos colocar essa discussão em prática para vermos como funciona isso. Vem comigo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

  y ' ' - 10 y ' + 25 y = 0

Fazendo as substituições, teremos:

m 2 - 10 m + 25 = 0

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = 10 ± 100 - 4 . 1.25 2 . 1 = 10 ± 0 2

Então encontramos que:

m 1 = m 2 = 5

Como as raízes são reais e idênticas teremos a seguinte solução:

y = c 1 e m 1 x + c 2 x e m 2 x

Substituindo as raízes, teremos:

y = c 1 e 5 x + c 2 x e 5 x

Shooow!

Passo 3

Isso por si só já é um resultado pra gente, no entanto o enunciado nos dá condições de contorno, ou seja, pontos ordenados para descobrirmos quanto as constantes valem! As condições são:

y 0 = 1 ,   y 1 = 0

Aplicando a primeira condição, teremos:

1 = c 1 + 0

c 1 = 1

Substituindo esse valor na solução e aplicando a segunda condição, teremos:

0 = e 5 + c 2 e 5

c 2 = - 1

Dessa forma, temos que a solução do nosso problema para as condições dadas é a seguinte:

y = e 5 x - x e 5 x

E é isso, galera!

Resposta

y = e 5 x - x e 5 x

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