Enunciado

Nos problemas 55-58, encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada.

57. d y d x + 2 x y = f x ,   f x = x ,   0 ≤ x < 1 0 ,   x ≥ 1 , no qual y 0 = 2 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

O problema que surge aqui é que f x dependerá do valor de x , certo? Sendo assim, precisaremos resolver DUAS equações diferenciais, uma para cada intervalo dado. O primeiro intervalo é para 0 ≤ x < 1 . Nesse caso f x = x , logo:

d y d x + 2 x y = f x = Q x

d y d x + 2 x y = x

E então tiramos que:

P x = 2 x

Q x = x

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ 2 x d x . ∫ e ∫ 2 x d x . x d x + c

Resolvendo a integral do expoente:

∫ 2 x d x = 2 x 2 2 = x 2

Substituindo, teremos:

y = e - x 2 . ∫ e x 2 . x d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Aqui basta fazermos uma substituição simples, saca só:

u = x 2

d u = 2 x d x

Logo, teremos:

1 2 ∫ e u d u = 1 2 e x 2

Substituindo:

y = e - x 2 . 1 2 e x 2 + c

∴ y = 1 2 + c 1 e x 2

Esse é o resultado para 0 ≤ x < 1 , beleza? Top!

Passo 4

O segundo intervalo é para x ≥ 1 . Nesse caso f x = 0 , logo:

d y d x + 2 x y = f x = Q x

d y d x + 2 x y = 0

E então tiramos que:

P x = 2 x

Q x = 0

Show!

Passo 5

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ 2 x d x . ∫ e ∫ 2 x d x . 0 d x + c

y = e - ∫ 2 x d x . c = c e - ∫ 2 x d x

Resolvendo a integral do expoente:

∫ 2 x d x = 2 x 2 2 = x 2

Substituindo, teremos:

y = c 2 e - x 2

E esse é o resultado para x ≥ 1 , beleza? Top!

Passo 6

Para resumirmos, temos como resultado o seguinte:

y = 1 2 + c 1 e x 2 ,   0 ≤ x < 1   c 2 e - x 2 ,   x ≥ 1

No entanto a questão nos dá uma condição inicial, que é y 0 = 2 . Para a primeira constante, teremos:

2 = 1 2 + c 1 e 0

∴ c 1 = 3 2

Agora para c 2 teremos que aplicar x = 1 igualando os dois resultados de y , já que descobrimos c 1 . Saca só:

c 2 e - x 2 = 1 2 + 3 2 e x 2

c 2 e - 1 = 1 2 + 3 2 e 1

c 2 e = 1 2 1 + 3 e

∴ c 2 = 1 2 e + 3

E agora que encontramos c 1 e c 2 podemos resumir nosso resultado final (AMÉM) da seguinte forma:

y = 1 2 + 3 2 e x 2 ,   0 ≤ x < 1   1 2 e + 3 e - x 2 ,   x ≥ 1

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? 😉

Resposta

y = 1 2 + 3 2 e x 2 ,   0 ≤ x < 1   1 2 e + 3 e - x 2 ,   x ≥ 1

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