Resolva a equação diferencial

e^(-x)dy + (e^(-x)y - 4x)dx = 0

Passo 1

A EDO que precisamos resolver é linear e de primeira ordem. É possível escrevê-la da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

Equações diferenciais que conseguem ser escritas desta forma, para resolvê-las, precisamos calcular um fator integrante v e multiplicar ambos os membros. Este fator integrante é dado por:

v = e ∫ p x d x

Após fazer a multiplicação, conseguiremos escrever a EDO da seguinte forma:

d d x v y = v ⋅ q ( x )

E ai, é só integrar ambos os membros. Fácil né!

Passo 2

Começaremos por reescrever a nossa EDO na forma y ' + p x y = q x . Portanto, temos:

e - x d y + e - x y - 4 x d x = 0

e - x d y d x   + e - x y = 4 x

d y d x   + y = 4 x e x

Portanto a função p x = 1 . Já sabemos a função relativa ao nosso fator integrante.

Passo 3

Agora, calcularemos o fator integrante! Ele é dado por:

v = e ∫ 1 d x

v = e x

Agora sim. Já obtemos nosso fator integrante. Observem que não é necessário obter a família de primitivas que resolvem a integral. Basta pegar uma solução particular só.

Passo 4

Vamos multiplicar a EDO pelo fator integrante. Portanto, temos:

v ⋅ y ' + y = v ⋅ 4 x e x

e x ⋅ d y d x + y = e x 4 x e x

d d x 1 + e x ⋅ y = 4 x e 2 x

Agora, basta integrarmos ambos os lados. Desta forma, obteremos:

e x ⋅ y = 4 ⋅ ∫ x e 2 x d x

Chegamos agora em uma integral que só conseguimos resolver ao utilizarmos a técnica de integração por partes.

Passo 5

Relembrando, na integração por partes, temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Portanto, seja u = x e d v = e 2 x . Consequentemente, d u = d x e v = e 2 x / 2 . Substituindo isto na relação acima, obtemos:

∫ x e 2 x   d x = x e 2 x 2 - ∫ e 2 x 2   d x

∫ x e 2 x   d x = x e 2 x 2 - e 2 x 4 + k

Substituindo a solução desta integral na solução da EDO, obtemos:

y = 4 e x ⋅ x e 2 x 2 - e 2 x 4 + k

y = 2 x e x - e x + k e - x

Resposta

y = 2 x e x - e x + k e - x

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