Enunciado

Nos Problemas 53-56, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas.

56. y ' ' - y = 0 ,   y 0 = 1 ,   y ' 1 = 0

Passo 1

Então pessoal, o formato das equações diferenciais dessa seção é o seguinte:

a y ' ' + b y ' + c y = 0

O que precisamos fazer é uma substituição aonde y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , ou seja, trocamos a ordem da derivada por expoentes e encontramos as raízes da nossa função característica, que é uma função que depende de m . Uma vez que encontramos as raízes teremos três resultados possíveis, assim como demonstrado e discutido na seção em questão.

Vamos colocar essa discussão em prática para vermos como funciona isso. Vem comigo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

y ' ' - y = 0

Fazendo as substituições, teremos:

m 2 - 1 = 0

E então encontramos que:

m 1 = 1

m 2 = - 1

Como as raízes são reais e distintas teremos a seguinte solução:

y = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

Substituindo as raízes, teremos:

y = c 1 e x + c 2 e - x

Shooow!

Passo 3

Isso por si só já é um resultado pra gente, no entanto o enunciado nos dá condições de contorno, ou seja, pontos ordenados para descobrirmos quanto as constantes valem! As condições são:

y 0 = 1 ,   y ' 1 = 0

Derivando nossa solução, teremos:

y ' = c 1 e x - c 2 e - x

Aplicando a primeira condição, teremos:

1 = c 1 + c 2

Aplicando a segunda:

0 = c 1 e - c 2 e

c 2 = c 1 e 2

Substituindo isso na primeira equação, teremos:

- 1 + c 1 + c 1 e 2 = 0

c 1 = - 1 1 + e 2

E então tiramos que:

c 2 = 1 + 1 1 + e 2 = 2 + e 2 1 + e 2

Dessa forma, temos que a solução do nosso problema para as condições dadas é a seguinte:

y = 1 1 + e 2 e x + 2 + e 2 1 + e 2 e - x

E é isso, galera!

Resposta

y = 1 1 + e 2 e x + 2 + e 2 1 + e 2 e - x

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