Enunciado

(a) Programe uma calculadora ou um computador para usar o método de Euler para calcular y 1 , onde y x é a solução do problema de valor inicial

d y d x + 3 x 2 y = 6 x 2                                         y 0 = 3

(i) h = 1

(ii) h = 0,1

(iii) h = 0,01

(iv) h = 0,001

(b) Verifique que y = 2 + e - x 3 é a solução exata da equação diferencial.

(c) Encontre os erros ao usar o método de Euler para calcular y 1 com os passos da parte (a). O que acontece com o erro quando o passo é dividido por 10 ?

Passo 1

(a) Pessoal, podemos programar um computador para usar o método de Euler, e assim calcular y 1 , usando diferentes valores de passo, ou seja, diferentes valores de h :

(i) h = 1 :           y 1 = 3

(ii) h = 0,1 :           y 1 ≈ 2,3928

(iii) h = 0,01 :           y 1 ≈ 2,3701

(iv) h = 0,001 :           y 1 ≈ 2,3681

Passo 2

(b) Agora vamos tentar substituir y = 2 + e - x 3 na equação diferencial e verificar se ela se satisfaz:

d y d x + 3 x 2 y = 6 x 2

2 + e - x 3 ' + 3 x 2 2 + e - x 3 = 6 x 2

0 + e - x 3   .   - 3 x 2 + 6 x 2 + 3 x 2 e - x 3 = 6 x 2

- 3 x 2 e - x 3 + 6 x 2 + 3 x 2 e - x 3 = 6 x 2

6 x 2 = 6 x 2

Show! Agora só precisamos saber se a função satisfaz o valor inicial y 0 = 3 :

y 0 = 2 + e - 0 3 = 2 + e 0 = 2 + 1 = 3

Então sim, é uma solução exata da equação diferencial!

Passo 3

(c) Galera, de acordo com a solução exata, temos:

y 1 = 2 + e - 1 3 = 2 + e - 1

Então vamos calcular o erro aos usar diferentes valores de h no método de Euler, subtraindo cada valor obtido no item (a) do valor exato que acamos de calcular:

(i) h = 1 :           2 + e - 1 - 3 ≈ - 0,6321

(ii) h = 0,1 :           2 + e - 1 - 2,3928 ≈ - 0,0249

(iii) h = 0,01 :           2 + e - 1 - 2,3701 ≈ - 0,0022

(iv) h = 0,001 :           2 + e - 1 - 2,3681 ≈ - 0,0002

Parece que, à medida que dividimos h por 10 , o erro também vai sendo aproximadamente dividido por 10 .

Resposta

(a)

(i) h = 1 :           y 1 = 3

(ii) h = 0,1 :           y 1 ≈ 2,3928

(iii) h = 0,01 :           y 1 ≈ 2,3701

(iv) h = 0,001 :           y 1 ≈ 2,3681

(c)

(i) h = 1 :           - 0,6321

(ii) h = 0,1 :           - 0,0249

(iii) h = 0,01 :           - 0,0022

(iv) h = 0,001 :           - 0,0002

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