Enunciado

Numa progressão geométrica, se a for o primeiro termo, r for a razão comum a dois termos sucessivos e S for a soma dos n primeiros termos, então r 1,

S =   a r n - 1 r - 1

Ache o lim r → 1 ⁡ S . O resultado será consistente com a soma dos n primeiros termos se r = 1?

Passo 1

Escrenvendo o limite para o calculo, temos:

l i m r → 1   a r n - 1 r - 1

Note que, de primeira vista tando a parte o numerador quanto o denominador, se aplicarmos o limite, vai dar zero, ou seja, uma indeterminação. Neste caso ela cai em uma das indeterminações que podem ser aplicadas L’Hopital.

Passo 2

Com isso, por L’Hopital temos:

l i m r → 1   a r n - 1 r - 1 = l i m r → 1   a * n r n - 1 1

Desse modo a aplicação do limite é direta.

= a * n

Passo 3

Observe que, o resultando faz sentido, se r é a razão de dois termos sucessivos e r = 1 então o termo seguinte é o mesmo que o primeiro termo. Com isso, todos os temos são iguais. Portando, a soma de todos os termos é igual ao numero de termos vezes o termo.

Resposta

Não.

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Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim t → π ⁡ e 3 t - 1 t
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → - 1 ⁡ x 2 - 1 x +
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x sen ⁡ π
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x x
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡